On the Order Of Elements of Group

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关于群元素的阶的猜想

在看Schur-Zassenhaus 定理证明的时候，发现了一个不太理解的步骤.

$a$是群$G$的元素，且$(|a|,n)=1$,则存在$b\in G$，使得，$b^n=a$

如果它是正确的，那么似乎能给出元素能开$n$次方的条件。

我们有以下两个猜想:

猜想1

$G$是有限群，若$(|G|,n)=1$,则 $f:G\rightarrow G,x\mapsto x^n$是$G$的双射，即对于任意$a\in G$,存在$b\in G$,使得，$b^n=a$

猜想2

$G$是有限群，$a\in G,(|a|,n)=1$,则存在$b\in G$,使得，$b^n=a$

对于猜想1，当$G$是交换群，证明是很容易的,且$f$是$G$的同构:

设$A$是有限交换群，$(|A|,n)=1$,设$a,b\in A,a^n=b^n$,则$a^n=b^n\Rightarrow (ab^{-1})^n=1$,所以$|ab^{-1}| |n$，而$(|ab^{-1}| ,n)=1$,故$ab^{-1}=1$,即$a=b$,所以映射$x\mapsto x^n$是单射，又因$|A|$有限，所以该映射是双射

对于非交换群，下面用GAP软件做一些验证

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1
D6:=DihedralGroup(6);
<group of size 6 with 2 generators>
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1
AsList(D6);
[ <identity> of ..., f1, f2, f1*f2, f2^2, f1*f2^2 ]
4
1
List(D6,x->Order(x));#计算各元素阶
[ 1, 2, 3, 2, 3, 2 ]
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1
#取n=3,(2,n)=1,做映射x->x^3后，应该有元素f1,f1*f2,f1*f2^2
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1
List(D6,x->x^3);
[ <identity> of ..., f1, <identity> of ..., f1*f2, <identity> of ..., f1*f2^2 ]
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1
#取 n=5,x->x^n应该是双射
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1
List(D6,x->x^5);
[ <identity> of ..., f1, f2^2, f1*f2, f2, f1*f2^2 ]
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1
#对于D6，结论似乎是正确的
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1
G:= SmallGroup(12,3);
<group of size 12 with 3 generators>
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1
StructureDescription(G);
"A4"
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1
AsList(G);#12阶群A4
[ <identity> of ..., f1, f2, f3, f1^2, f1*f2, f1*f3, f2*f3, f1^2*f2, f1^2*f3, f1*f2*f3, f1^2*f2*f3 ]
4
1
List(G,x->x^13);
[ <identity> of ..., f1, f2, f3, f1^2, f1*f2, f1*f3, f2*f3, f1^2*f2, f1^2*f3, f1*f2*f3, f1^2*f2*f3 ]
4
1
List(G,x->x^7);
[ <identity> of ..., f1, f2, f3, f1^2, f1*f2, f1*f3, f2*f3, f1^2*f2, f1^2*f3, f1*f2*f3, f1^2*f2*f3 ]
4
1
List(G,x->x^5);
[ <identity> of ..., f1^2, f2, f3, f1, f1^2*f2*f3, f1^2*f2, f2*f3, f1*f3, f1*f2*f3, f1^2*f3, f1*f2 ]
4
1
List(G,x->x^6);# 6|12
[ <identity> of ..., <identity> of ..., <identity> of ..., <identity> of ..., <identity> of ..., <identity> of ..., <identity> of ..., <identity> of ..., <identity> of ..., <identity> of ..., <identity> of ..., <identity> of ... ]
4
1
List(G,x->x^8); #(8,12)=4
[ <identity> of ..., f1^2, <identity> of ..., <identity> of ..., f1, f1^2*f2*f3, f1^2*f2, <identity> of ..., f1*f3, f1*f2*f3, f1^2*f3, f1*f2 ]
4
1
List(G,x->x^11);
[ <identity> of ..., f1^2, f2, f3, f1, f1^2*f2*f3, f1^2*f2, f2*f3, f1*f3, f1*f2*f3, f1^2*f3, f1*f2 ]
4
1
G1:= SmallGroup(60,2);
<group of size 60 with 4 generators>
4
1
IsAbelian(G1);
false
4
1
#取 n=7
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1
s1:=Set(List(G1,x->x^7));
[ <identity> of ..., f1, f2, f3, f4, f1*f2, f1*f3, f1*f4, f2^2, f2*f3, f2*f4, f3*f4, f4^2, f1*f2^2, f1*f2*f3, f1*f2*f4, f1*f3*f4, f1*f4^2, f2^2*f3, f2^2*f4, f2*f3*f4, f2*f4^2, f3*f4^2, f4^3, f1*f2^2*f3, f1*f2^2*f4, f1*f2*f3*f4, f1*f2*f4^2, f1*f3*f4^2, f1*f4^3, f2^2*f3*f4, f2^2*f4^2, f2*f3*f4^2, f2*f4^3, f3*f4^3, f4^4, f1*f2^2*f3*f4, f1*f2^2*f4^2, f1*f2*f3*f4^2, f1*f2*f4^3, f1*f3*f4^3, f1*f4^4, f2^2*f3*f4^2, f2^2*f4^3, f2*f3*f4^3, f2*f4^4, f3*f4^4, f1*f2^2*f3*f4^2, f1*f2^2*f4^3, f1*f2*f3*f4^3, f1*f2*f4^4, f1*f3*f4^4, f2^2*f3*f4^3, f2^2*f4^4, f2*f3*f4^4, f1*f2^2*f3*f4^3, f1*f2^2*f4^4, f1*f2*f3*f4^4, f2^2*f3*f4^4, f1*f2^2*f3*f4^4 ]
4
1
s2:=Set(G1);;
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s1=s2;
true
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1
a5:=AsList(G1)[5];
<object>
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Order(a5);
5
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# 取n=6,一定存在元素，它的n次幂等于a5
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1
a5 in List(G1,x->x^6);
true
4
1
2


又稍微思考了以下，发现只需考虑循环群就足够了。

对于猜想2，证明如下:

设$|a|=m$,$\langle a\rangle$是$m$阶循环群，$(m,n)=1$,则因$\langle a\rangle$是交换群，故$x\mapsto x^n$是$\langle a\rangle$的同构，所以存在$b\in \langle a\rangle\subseteq G$,使得$b^n=a$

对于猜想1，利用猜想2可证明。

$(|G|,n)=1$,所以$n$与所以$G$中元素的阶互质，所以对于任意$a\in G$,存在$b \in G$,使得$b^n=a$,所以映射$x\mapsto x^n$是$G$到$G$的满射，又因为$|G|$有限，所以这个映射是双射。